Toeplitz operators with piecewise continuous symbols
Santeri Miihkinen (Åbo Akademi)

Summary. We consider Toeplitz operators acting on the Hardy spaces \(H^p\) of the unit disc for \(1 \le p < \infty\). Geometric descriptions of the essential spectra of Toeplitz operators up to piecewise continuous symbols are well known for \(1 < p < \infty\). We will investigate what happens in the case \(p=1\). The talk is based on a joint work with J. Virtanen (Reading, UK).

room: A1-33, 10:30–11:30. At 10:00 coffee and tea at the Professors’ club.

Cyclicity of non vanishing functions in the polydisc and in the ball
Pascal Thomas (Institute de Mathématiques de Toulouse, Université Paul Sabatier)

Summary. Consider a Banach space \(X\) of holomorphic functions in the polydisc or ball, defined by weighted integral conditions, or more generally by weighted sums of powers of the coefficients of the Taylor expansion of the functions in \(X\). Assume that \(X\) contains all the functions bounded and holomorphic on the relevant domain. We give a condition on the space \(X\) (roughly speaking that its norm be small enough) so that any nonvanishing bounded function \(f\) in \(X\) will be cyclic, i.e. any other \(g\) in \(X\) can be approximated by \(P_n f\), where \((P_n)\) is a sequence of polynomials. To do this, we use a special version of the Corona Theorem in several variables, valid when all but one of the data functions are smooth. This generalizes results obtained by El Fallah, Kellay and Seip in the case of disc, themselves motivated by classical results of Nikolai Nikolski.

room: A1-33, 13:00–12:00. At 10:00 coffee and tea at the Professors’ club.

Drożność i niezmienniczość zbioru stanów dopuszczalnych ewolucji w układach reakcji-dyfuzji
Wojciech Kryszewski (Politechnika Łódzka)

Streszczenie. Zgodnie z prawem Ficka ewolucja wieloskładnikowej substancji, której składniki znajdujące się w obszarze \(\Omega \subset
\mathbb{R}^N\) podlegają dyfuzji oraz oddziałują między sobą (w drodze reakcji) opisywana jest za pomocą tzw. równań reakcji-dyfuzji postaci
\[
u_t – \operatorname{div}(D\nabla u) = f (u),
\] gdzie \(u = (u_1 ,\dots, u_M )\) , \(u_i = u_i (t, x)\) jest stężeniem i-tej substancji w czasie \(t\) i w punkcie \(x\in \Omega\), \(D = D(x)\) jest tzw. współczynnikiem dyfuzji, a zaburzenie \(f\) odpowiada za kinetykę reakcji, pod obecność warunku początkowego i warunków brzegowych. Z praw fizyki wynika, że ewolucja przebiega w ramach naturalnych, tj. dopuszczalnych ograniczeń na stan \(u = u(t, x)\); tzn. oczekuje się istnienia rozwiązań w z góry określonym zbiorze \(C \subset \mathbb{R}^M\). Podobne zjawiska mają miejsce dla równania ciepła, modeli dynamiki populacji i wielu innych modeli matematycznych w fizyce, chemii lub biologii.

Ogólnie mówiąc równania w abstrakcyjnej wersji mają postać
\[
u_t + Au = F (u),\quad u(0) = x \in X,
\] gdzie \(X\) jest odpowiednio dobraną przestrzenią Banacha, \(A\) jest abstrakcyjną „dyfuzją”, czyli (na ogół) nieograniczonym operatorem liniowym sektorialnym określonym w \(X\), zaś \(F\) jest zaburzeniem, abstrakcyjną „reakcją”. Rozwiązań poszukuje się w z góry zadanym zbiorze ograniczeń \(K \subset X\). Podczas referatu omówimy modele matematyczne (np. wspomniane równanie reakcji-dyfuzji i jego relację z równaniem abstrakcyjnym, równanie Skellama w modelu Malthusa dynamiki populacyjnej, równanie Fitz–Hugh–Nagumo opisujące przepłuw impulsów we włóknach nerwowych), a przede wszystkim założenia implikujące „drożność” lub „przeżywalność” systemu w zbiorze ograniczeń. Podamy warunki koniecznie i dostateczne tzw. niezmienniczości ze względu na rezolwenty operatora A, na półgrupę generowaną przez \(A\), a także o tzw. łączne warunki niezmienniczości dla procesów reakcji-dyfuzji. W rozważaniach istotną rolę pełnią formy Dirichleta stowarzyszone z \(A\), tzw. warunki styczności Pavela w języku stożków Bouliganda a także zasada maximum.

sala: A1-33, 10:00–12:00. O 10:00 tradycyjna kawa lub herbata z prelegentem w Klubie Profesorskim.

Extensions and factorization of Lipschitz maps on Banach function spaces and applications
Enrique A. Sánchez Pérez (Universidad Politécnica de Valencia)

Summary. Using some classical separation arguments, some techniques for obtainingfactorization schemes for linear operators can be used in the case of Lipschitzmaps as well. Essentially, it is possible to prove that some vector norm inequalities involving integrals and some factorizations are equivalent facts forLipschitz operators on Banach function spaces. This allows to study someproperties of these operators in terms of summability properties. As an application, we show some results for uniform extension of real valued maps actingin metric spaces. For some particular cases, this provides for example extension theorems for \(p\)-averages of families of metrics in a McShane-Whitney fashion.

room: A1-33, 10:00–12:00. Coffee and tea on 10:00 at the professors’ club.

Volodymyr Dilnyi (Instytut Matematyki, Politechnika Krakowska)
O cykliczności w przestrzeniach wagowych Hardy’ego

sala posiedzeń Rady Wydziału, 10:30–12:00

Streszczenie. Badane są przestrzenie Hardy’ego w półpłaszczyźnie z wagą wykładniczą. Uzyskano kryterium cykliczności w tej przestrzeni i uogólnienie twierdzenia Beurlinga–Laksa. Dyskutujemy o możliwości rozkładu przestrzeni Paley’a–Wienera całkowitych funkcjii wagowej przestrzeni Hardy’ego na sumę dwóch przestrzeni ,,połowionego” wzrostu. Zaproponowano zastosowanie do teorii sygnałów, równań splotu i inne zastosowania.

Przed wykładem, o godzinie 10.00, zapraszamy do Klubu Profesorskiego na spotkanie z prelegentem.

room: A1-33, 10:00–12:00

Vakhtang Kokilashvili (Tbilisi State University)
Integral operators in fully measurable grand Lebesgue spaces and applications

Summary. The goal of talk is to present our recent results dealing with the mapping behavior of integral operators in new function spaces. We plan to discuss the following topics:

• Boundedness criteria of integral operators in weighted fully measurable grand Lebesgue spaces defined on quasi-metric measure spaces
• Boundedness criteria of integral operators in weighted fully measurable grand Lebesgue spaces defined on quasi-metric measure spaces
• One-sided operators
• Integral transforms defined of product spaces
• Application to the Riemann–Hilbert boundary value problem for analytic function.

Alexander Meskhi (Tbilisi State University and Georgian Technical University)
Weighted extrapolation in grand Lebesgue spaces defined on product sets

Summary. Our aim is present our recent results regarding weighted extrapolation in grand Lebesgue spaces, generally speaking, defined on product sets. In particular, we show that ifthe one-weight inequality holds in the classical weighted Lebesgue space \(L^{p_0}_w (X_1\times \dots\times X_n)\) for a class of pairs of functions \((f, g)\) defined on \(X_1 \times\dots\times X_n\) and for all weights \(w\) from the strong Muckenhoupt class \(A^{(S)}_{p_0} (X_1 \times \dots\times X_n)\), then the one-weight estimate also holdsin grand Lebesgue spaces \(L^{p}_w (X_1\times\dots\times X_n)\) for the same pairs of functions \((f, g)\) and for all Muckenhoupt weights \(w\in A^{(S)}_{p} (X_1\times\dots\times X_n)\). Our results cover both diagonal and off diagonal cases. We deal also with extrapolation from \(A^{(S)}_\infty (X_1\times\dots\times X_n)\) weights. Based on these results we prove new one-weight estimates for single as well as multiple integral operators such as strong maximal, Calderón–Zygmund and fractional integral operators with product kernels in these spaces. Commutators of singular and fractional integrals will be also discussed.

Coffee and the at 9:30 in the professors’ club.

Zbigniew Lipecki (Oddział Wrocławski IM PAN)
Przedziały porządkowe w kratach Banacha i ich punkty ekstremalne

sala posiedzeń Rady Wydziału, 10:30–12:00

Streszczenie. Niech \(X\) będzie kratą Banacha, a \(u\) jej elementem dodatnim. Zbiór punktów ekstremalnych przedziału porządkowego \([0, u]\) jest mocno domknięty. Jeśli \(u\) jest atomowe, to zbiór ten jest słabo domknięty. Odwrotna implikacja zachodzi przy założeniu, że norma w \(X\) jest porządkowo ciągła. Przy tym założeniu \(u\) jest bezatomowe wtedy i tylko wtedy, gdy \(\operatorname{extr}[0, u]\) jest słabo gęste w \([0, u]\). Dowód wykorzystuje twierdzenie typu Kreina-Milmana oraz pewne wersje twierdzeń teoriomiarowych należących do Sierpińskiego i Lapunowa. Podobne twierdzenia o domkniętości i gęstości zachodzą dla \({}^*\)-słabej topologii kraty Banacha \(X^*\) przy założeniu, że \(X\) ma słabą jedność porządkową, a jego norma jest porządkowo ciągła.

Przed wykładem, o godzinie 10.00, zapraszamy do Klubu Profesorskiego na spotkanie z prelegentem.

Tomasz Kania (IM PAN)
Nowe wyniki dotyczące zbiorów odseparowanych na sferze przestrzeni Banacha

sala posiedzeń Rady Wydziału, 10:30–12:00

Streszczenie. Kottman wykazał, że sfera jednostkowa w nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej zawiera nieskończony podzbiór \((1+)\)-odseparowany, tj. taki którego elementy są od siebie w odległości większej niż 1. Elton i Odell wzmocnili to twierdzenie wskazując możliwość zbudowania zbioru \((1+\epsilon)\)-odseparowanego przy pewnym \(\epsilon>0\). Zagadnienie to było studiowane przez prelegenta wspólnie z T. Kochankiem w kontekście możliwości budowania nieprzeliczalnych zbiorów \((1+)\)-odseparowanych na sferze przestrzeni nieośrodkowej; uzyskaliśmy wówczas pozytywne wyniki w tym kierunku dla klas przestrzeni refleksywnych oraz typu \(C(K)\). J.M.F. Castillo zapytał o istnienie zbiorów symetrycznie odseparownych, tj. o możliwość zastąpienia zwykłej odległości \(\|x-y\|\) przez \(\|x\pm y\|\). Celem referatu jest przedstwienie wyników z dwóch wspólnych prac z P. H\’ajkiem oraz T. Russo dotyczących obywdu kierunków uogólnień wspomnianych twierdzeń. W pierwszej z nich odpowiadamy twierdząco na rzeczone pytanie Castillo, tj. uzyskujemy symetryczną wersję twierdzenia Kottmana dla wszystkich przestrzeni Banacha, a także symetryczną wersję twierdzenia Eltona-Odella dla ,,niemal wszystkich” przestrzeni. W drugiej z nich wzmaniamy wyniki dotyczące przestrzeni nieośrodkowych dowodząc, na przykład, że sfera przestrzeni refleksywnej zawiera tak duże symetryczne zbiory \((1+\epsilon)\)-odesparowane jak tylko to możliwe. Przy okazji rozwiązujemy pozytywnie problem istnienia nieprzeliczalnych układów Auerbacha w odpowiednio dużych przestrzeniach.

Przed wykładem, o godzinie 10.00, zapraszamy do Klubu Profesorskiego na spotkanie z prelegentem.

room: A1-33, 10:30–12:00

Frédéric Bayart (Clermont Auvergne University, France)
Multiple summing maps: Coordinatewise summability, inclusion theorems and p-Sidon sets

Summary. In 1931, Bohnenblust and Hille have shown the following beautiful inequality which has many applications in the theory of Dirichlet series or in complex analysis: let \(m\geq 1\). There exists a constant \(C_m > 0\) such that, for all m-linear maps \(T\colon c_0 \times\dots\times c_0 \to\mathbb{C}\),
\[
\left(\sum_{i_1,\dots,i_m}\left|T(e_{i_1},\dots,e_{i_m})\right|^{\frac{2m}{m+1}}\right)^{\frac{m+1}{2m}} \leq C_m\|T\|.
\] This inequality may be translated in the modern theory of multiple summing maps. Following works of Defant, Popa and Schwarting, I will discuss in this talk how the arguments used to prove the Bohenblust and Hille inequality can be transfered to this more general context. In particular, we will study the multiple summability of multilinear maps when we have informations on the summability of the maps that it induces in each coordinate. Applications will be given to harmonic analysis.

Coffee and the at 9:00 in the room A1-33.

room: A1-33, 10:30–11:30

Taras Banakh (Ivan Franko National University of Lviv and Jan Kochanowski University in Kielce)
A simple inductive proof of Levy–Steinitz theorem

Summary. We present a relatively simple inductive proof of the classical Levy–Steinitz Theorem saying that for a sequence \((x_n)_{n=1}^\infty\) in a finite-dimensional Banach space \(X\) the set of all sums of rearranged series \(\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}\) is an affine subspace of \(X\). This affine subspace is not empty if and only if for any linear functional \(f\colon X\to\mathbb{R}\) the series \(\sum_{n=1}^\infty f(x_{\sigma(n)})\) is convergent for some permutation \(\sigma\) of \(\mathbb{N}\). This gives an answer to a problem of Vaja Tarieladze, posed in Lviv Scottish Book in September, 2017. More details can be found in arxiv.

Coffee and the at 10:00 in the Professors’ club.