room: B1-37, godz. 10:30–12:00

Paweł Mleczko, Michał Rzeczkowski
Spektra wagowych operatorów kompozycji na abstrakcyjnych przestrzeniach typu Hardy’ego

Streszczenie. W czasie wykładu omówimy uzyskane rezultaty związane z opisem spektrów wagowych operatorów kompozycji na abstrakcyjnych przestrzeniach typu Hardy’ego oraz wskażemy istniejące problemy i sposoby ich rozwiązania.

Kawa i herbata o 10:00 w B1-23.

room: A1-33, godz. 10:30–12:00

Jurgen Appell (University of Wurzburg)
Condensing Operators: a Friendly Introduction

Summary. The definition of condensing operators is based on the notion of measures of noncompactness and provides a natural generalization of compact operators. So it is not surprising that various attempts have been made to carry over important features of both compact linear operators (spectral theory, Fredholm theory, etc.) and nonlinear operators (fixed point theory, degree theory, etc.) to this operator class. Although the theory of condensing operators is nowadays quite advanced and well-established, there is still a deplorable lack of applications. The main purpose of the talk will be to discuss, after briefly summarizing the basic theoretical definitions and results, some typical applications arising in various fields of mathematical analysis. Such applications refer to Hilbert transforms, Sturm-Liouville problems, Schrödinger equations, composition operators on Bergman spaces, and others. As the title suggests, the talk will require only a modest background in functional analysis and operator theory, and therefore will be accessible also to PhD students.

Tea and coffee at 10:00.

room: A1-33, godz. 10:30–12:00

Anibala Molto (University of Valencia, Spain)
C(K) spaces with good renorming properties

Summary. We will consider, for some compacta \(K\), the behaviour of \(C(K)\), the Banach space of its continuous functions on \(K\), with respect to the existence of an equivalent locally uniformly rotund (LUR) or a Kadets norm. It is well known any LUR norm is a Kadets one and, in turn, if a Banach space \(X\) has a Kadets norm then \(X\) has a countable cover by sets of small local \(\|\cdot\|\)-diameter (SLD). Some classes of compacta \(K\) for which \(C(K)\) has some of those properties will be presented, studying the topological properties of \(K\) that allow to deduce some of those good renormings on \(C(K)\).

Tea and coffee at 10:00.

B1-37, godz. 10:30−12:00
Adam Przestacki (WMI UAM)
Hipercykliczność wagowych operatorów kompozycji na przestrzeni funkcji gładkich, II

Streszczenie. Niech \(X\) będzie przestrzenią Frécheta i niech \(T\colon X\to X\) będzie operatorem (ciągłym odwzorowaniem liniowym). Mówimy, że \(T\) jest operatorem hipercyklicznym, gdy istnieje wektor \(x\in X\) taki, że
\[
\operatorname{orb}(x,T):=\big\{T^nx:n\in\mathbb{N}\big\}
\] jest gęstym podzbiorem w \(X\). Istnieje bardzo wiele naturalych przykładów operatorów występujących w analizie funkcjonalnej, które posiadają tą na pozór rzadką własność a dynamika liniowa (której częścią jest badanie hipercykliczności operatorów) jest w ostatnich latach bardzo mocno rozwijana.

Celem odczytu będzie podanie pełnej charakteryzacji hipercykliczności wagowych operatorów kompozycji działających na przestrzeni funkcji gładkich tj. operatorów postaci
\[
C_{w,\psi}\colon C^\infty(\Omega,\mathbb{K})\to C^\infty(\Omega,\mathbb{K}),\quad F\mapsto w\cdot(F\circ\psi),
\] gdzie \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) jest zbiorem otwartym, \(C^\infty(\Omega,\mathbb{K})\) jest przestrzenią \(\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}\) wartościowych funkcji gładkich na \(\Omega\) a funkcje \(w\colon \Omega\to\mathbb{K}\) i \(\psi\colon \Omega\to\Omega\) są gładkie.

B1-37, godz. 10:30−12:00
Adam Przestacki (WMI UAM)
Hipercykliczność wagowych operatorów kompozycji na przestrzeni funkcji gładkich

Streszczenie. Niech \(X\) będzie przestrzenią Frécheta i niech \(T\colon X\to X\) będzie operatorem (ciągłym odwzorowaniem liniowym). Mówimy, że \(T\) jest operatorem hipercyklicznym, gdy istnieje wektor \(x\in X\) taki, że
\[
\operatorname{orb}(x,T):=\big\{T^nx:n\in\mathbb{N}\big\}
\] jest gęstym podzbiorem w \(X\). Istnieje bardzo wiele naturalych przykładów operatorów występujących w analizie funkcjonalnej, które posiadają tą na pozór rzadką własność a dynamika liniowa (której częścią jest badanie hipercykliczności operatorów) jest w ostatnich latach bardzo mocno rozwijana.

Celem odczytu będzie podanie pełnej charakteryzacji hipercykliczności wagowych operatorów kompozycji działających na przestrzeni funkcji gładkich tj. operatorów postaci
\[
C_{w,\psi}\colon C^\infty(\Omega,\mathbb{K})\to C^\infty(\Omega,\mathbb{K}),\quad F\mapsto w\cdot(F\circ\psi),
\] gdzie \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) jest zbiorem otwartym, \(C^\infty(\Omega,\mathbb{K})\) jest przestrzenią \(\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}\) wartościowych funkcji gładkich na \(\Omega\) a funkcje \(w\colon \Omega\to\mathbb{K}\) i \(\psi\colon \Omega\to\Omega\) są gładkie.

B1-37, godz. 10:30−12:00
Michał Rzeczkowski (WMI UAM)
Dynamika liniowa operatorów kompozycji, II

Streszczenie. W trakcie odczytu przypomnę podstawowe pojęcia i fakty z teorii dynamiki liniowej operatorów oraz podam pewne twierdzenia dotyczące problemu hipercykliczności operatora kompozycji działającego między klasami Hardy’ego.

B1-23, godz. 10:30−12:00
Michał Rzeczkowski (WMI UAM)
Dynamika liniowa operatorów kompozycji, I

Streszczenie. W trakcie odczytu przypomnę podstawowe pojęcia i fakty z teorii dynamiki liniowej operatorów oraz podam pewne twierdzenia dotyczące problemu hipercykliczności operatora kompozycji działającego między klasami Hardy’ego.

room: A1-33, godz. 10:30–12:00
Michael Langenbruch (University of Oldenburg)
Surjective Euler type operators on spaces of smooth functions

Summary. This is a report on joint work with P. Domański (AMU Poznań). I will discuss new developments concerning the solvability of finite order Euler type partial differential operators \(P(\theta)\) on \(C^\infty(\Omega)\) where \(\Omega\subset\mathbb{R}^d\) is open. Recall that these operators are partial differential operators with polynomial coefficients defined by
\[
P(\theta):=\sum_{|\alpha|\leq m}c_\alpha\theta^\alpha\text{ where }\theta^\alpha:=\prod_{j\leq d}\theta_j^{\alpha_j}\text{ for }\theta_j:=x_j\partial_j.
\] Specifically, I will present a complete answer to the following two questions:

1. When is \(P(\theta)\colon C^\infty(\Omega)\to C^\infty_{I(P)}(\Omega)\) surjective?
2. When is \(P(k+\theta)\colon C^\infty(\Omega)\to C^\infty_{I(P(k+\cdot))}(\Omega)\) surjective for any \(k\in\mathbb{R}^d\)?

Recall that \(C^\infty_{I(P)}(\Omega)\) is the canonical upper bound for the range of \(P(\theta)\). Inheritance properties and the relation between questions 1. and 2. are also discussed.

room: A1-33, godz. 10:30–12:00

Pascal Thomas (Université de Toulouse, Francja)
Weak Embedding Property, Inner Functions and Entropy

Summary. Following Gorkin, Mortini, and Nikolski, we say that an inner function \(I\) in \(H^\infty(\mathbb{D})\) has the WEP property if its modulus at a point \(z\) is bounded from below by a function of the distance from \(z\) to the zero set of \(I\). This is equivalent to a number
of function-algebraic properties. ”Wepable” functions are those inner functions which divide a WEP function, i.e. which can be made WEP after multiplication by a suitable Blaschke product. We prove that a closed subset E of the unit circle is of finite entropy (i.e. is a Beurling–Carleson set) if and only if any singular measure supported on E gives rise to a wepable singular inner function. As a corollary, we see that singular measures which spread their mass too evenly cannot give rise to wepable singular inner functions. Furthermore, we prove that the stronger property of porosity of E is equivalent to a stronger form of wepability, ”easy wepability”, for the singular inner functions with support in E. Finally, we find out the critical decay rate of masses of atomic measures (with no restrictions on support) guaranteeing that the corresponding singular inner functions are easily wepable. Joint work with A. Borichev and A. Nicolau.

Tea and coffee at 10:00.

The lecture is organized by the Department of Real Functions Theory and Department of Functional Analysis.

B1-37, godz. 10:30–12:00

Paweł Mleczko
Operatory kompozycji na przestrzeniach funkcji analitycznych, które są ,,complex symmetric”, II

Streszczenie. Celem odczytu będzie wprowadzenie i omówienie nowej klasy operatorów, nazywanych operatorami typu ,,complex symmetric”. W szczególności opowiemy o wynikach związanych z tą klasą dla operatorów kompozycji na przestrzeniach Hardy’ego \(H^2\) oraz Bergmana \(A^2\).