Tomasz Kania (IM PAN)
Nowe wyniki dotyczące zbiorów odseparowanych na sferze przestrzeni Banacha

sala posiedzeń Rady Wydziału, 10:30–12:00

Streszczenie. Kottman wykazał, że sfera jednostkowa w nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej zawiera nieskończony podzbiór \((1+)\)-odseparowany, tj. taki którego elementy są od siebie w odległości większej niż 1. Elton i Odell wzmocnili to twierdzenie wskazując możliwość zbudowania zbioru \((1+\epsilon)\)-odseparowanego przy pewnym \(\epsilon>0\). Zagadnienie to było studiowane przez prelegenta wspólnie z T. Kochankiem w kontekście możliwości budowania nieprzeliczalnych zbiorów \((1+)\)-odseparowanych na sferze przestrzeni nieośrodkowej; uzyskaliśmy wówczas pozytywne wyniki w tym kierunku dla klas przestrzeni refleksywnych oraz typu \(C(K)\). J.M.F. Castillo zapytał o istnienie zbiorów symetrycznie odseparownych, tj. o możliwość zastąpienia zwykłej odległości \(\|x-y\|\) przez \(\|x\pm y\|\). Celem referatu jest przedstwienie wyników z dwóch wspólnych prac z P. H\’ajkiem oraz T. Russo dotyczących obywdu kierunków uogólnień wspomnianych twierdzeń. W pierwszej z nich odpowiadamy twierdząco na rzeczone pytanie Castillo, tj. uzyskujemy symetryczną wersję twierdzenia Kottmana dla wszystkich przestrzeni Banacha, a także symetryczną wersję twierdzenia Eltona-Odella dla ,,niemal wszystkich” przestrzeni. W drugiej z nich wzmaniamy wyniki dotyczące przestrzeni nieośrodkowych dowodząc, na przykład, że sfera przestrzeni refleksywnej zawiera tak duże symetryczne zbiory \((1+\epsilon)\)-odesparowane jak tylko to możliwe. Przy okazji rozwiązujemy pozytywnie problem istnienia nieprzeliczalnych układów Auerbacha w odpowiednio dużych przestrzeniach.

Przed wykładem, o godzinie 10.00, zapraszamy do Klubu Profesorskiego na spotkanie z prelegentem.