Drożność i niezmienniczość zbioru stanów dopuszczalnych ewolucji w układach reakcji-dyfuzji
Wojciech Kryszewski (Politechnika Łódzka)

Streszczenie. Zgodnie z prawem Ficka ewolucja wieloskładnikowej substancji, której składniki znajdujące się w obszarze \(\Omega \subset
\mathbb{R}^N\) podlegają dyfuzji oraz oddziałują między sobą (w drodze reakcji) opisywana jest za pomocą tzw. równań reakcji-dyfuzji postaci
\[
u_t – \operatorname{div}(D\nabla u) = f (u),
\] gdzie \(u = (u_1 ,\dots, u_M )\) , \(u_i = u_i (t, x)\) jest stężeniem i-tej substancji w czasie \(t\) i w punkcie \(x\in \Omega\), \(D = D(x)\) jest tzw. współczynnikiem dyfuzji, a zaburzenie \(f\) odpowiada za kinetykę reakcji, pod obecność warunku początkowego i warunków brzegowych. Z praw fizyki wynika, że ewolucja przebiega w ramach naturalnych, tj. dopuszczalnych ograniczeń na stan \(u = u(t, x)\); tzn. oczekuje się istnienia rozwiązań w z góry określonym zbiorze \(C \subset \mathbb{R}^M\). Podobne zjawiska mają miejsce dla równania ciepła, modeli dynamiki populacji i wielu innych modeli matematycznych w fizyce, chemii lub biologii.

Ogólnie mówiąc równania w abstrakcyjnej wersji mają postać
\[
u_t + Au = F (u),\quad u(0) = x \in X,
\] gdzie \(X\) jest odpowiednio dobraną przestrzenią Banacha, \(A\) jest abstrakcyjną „dyfuzją”, czyli (na ogół) nieograniczonym operatorem liniowym sektorialnym określonym w \(X\), zaś \(F\) jest zaburzeniem, abstrakcyjną „reakcją”. Rozwiązań poszukuje się w z góry zadanym zbiorze ograniczeń \(K \subset X\). Podczas referatu omówimy modele matematyczne (np. wspomniane równanie reakcji-dyfuzji i jego relację z równaniem abstrakcyjnym, równanie Skellama w modelu Malthusa dynamiki populacyjnej, równanie Fitz–Hugh–Nagumo opisujące przepłuw impulsów we włóknach nerwowych), a przede wszystkim założenia implikujące „drożność” lub „przeżywalność” systemu w zbiorze ograniczeń. Podamy warunki koniecznie i dostateczne tzw. niezmienniczości ze względu na rezolwenty operatora A, na półgrupę generowaną przez \(A\), a także o tzw. łączne warunki niezmienniczości dla procesów reakcji-dyfuzji. W rozważaniach istotną rolę pełnią formy Dirichleta stowarzyszone z \(A\), tzw. warunki styczności Pavela w języku stożków Bouliganda a także zasada maximum.

sala: A1-33, 10:00–12:00. O 10:00 tradycyjna kawa lub herbata z prelegentem w Klubie Profesorskim.